Suites et séries de fonctions

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I. Types de convergence

1.1 Définitions

1.1.1 Convergence simple

1.1.2 Convergence uniforme

1.1.3 Convergence en moyenne

1.1.4 Convergence en moyenne quadratique

1.1.5 Remarques

1.2 Liens entre les divers types de convergence

1.3 Critères et conditions suffisantes de convergence uniforme

1.3.1 Définition générale de la convergence uniforme

1.3.2 Critère de Cauchy uniforme

1.3.3 Convergence normale

1.3.4 Critère d'Abel

1.3.5 Théorème de Dini

II. Problèmes d'interversion de limites

2.1 lim(lim)

2.1.1 Théorème général : lim(lim)

2.1.2 Corollaire (lim(S ))

2.1.3 Corollaire

2.1.4 Exemples

2.2 lim(¶ )

2.2.1 Théorème (lim(¶ )

2.2.2 Corollaire (S (¶ )

2.2.3 Exemples

2.3 (S (S )):

2.3.1 Théorème

2.3.2 Notion de famille sommable

2.4 lim(ò )

2.4.1 Fonctions intégrables

2.4.2 théorème (lim(ò ))

2.4.3 Corollaires (S (ò ))

2.4.4 Corollaires (continuité d'une fonction définie par une intégrale)

2.5 ¶ (ò )

2.5.1 Théorème ¶ (ò )

2.5.2 Remarque

2.6 ò (ò )

Théorème de Fubini (¶ (¶ ))

2.7 (¶ (¶ ))

Théorème de Schwarz (¶ (¶ ))

III. Approximation de fonctions :

3.1 Meilleure approximation dans un espace vectoriel normé

3.1.1 Définition

3.1.2 Une condition suffisante d'existence d'une meilleure approximation

3.1.3 Cas des espaces préhilbertiens

3.1.4 Exemples et exercices

3.2 Approximation d'une fonction continue par des polynômes

3.2.1 Théorème de Weierstrass

3.2.2 Notions sur la convolution des fonctions

3.2.3 Exercices

3.3 Approximation par des fonctions en escalier

3.3.1 Fonctions réglées

3.3.2 Théorème (approximation des fonctions réglées par des fonctions en escalier)

3.3.3 Théorie de l'intégration des fonctions réglées

3.4 Approximation par des polynômes trigonométriques

3.4.1 Introduction

3.4.2 Une condition suffisante de convergence simple de la série de Fourier d'une fonction : Théorème de Lejeune-Dirichlet

3.4.3 Corollaire : condition suffisante de convergence simple vers f de la série de Fourier de f

3.4.4 Condition suffisante de convergence uniforme vers f de la série de Fourier de f

3.4.5 Approximation uniforme par une suite de polynômes trigonométriques

3.4.6 Convergence en moyenne quadratique de la série de Fourier de f vers f

Exercices complémentaires