Calcul différentiel

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Préliminaires

1. Applications différentiables

1.1 Définitions

1.2 Cas des fonctions à valeurs dans un produit

1.3 Cas des fonctions de plusieurs variables

1.4. Cas d'une fonction de la variable complexe

1.5 Différentielle d'une fonction composée

2. Théorème des accroissements finis

2.1 Cas d'une fonction de R dans R; théorème de Rolle et des accroissement finis

2.2 Cas des fonctions à valeurs dans R

2.3 Cas des fonctions d'un ouvert de Rⁿ dans R^p

2.4 Cas général

2.5 Applications

2.3.1 Fonctions de classe C¹

2.3.2 Dérivée de la limite d'une suite de fonctions

2.3.3 Théorème de Schwarz

3. Différentielles d'ordre supérieur

3.1 Définitions (cas n = 2)

3.2 Cas des fonctions de plusieurs variables

4. Formules de Taylor

4.1 Cas des fonctions d'une variable

4.1.1 Formule et inégalité de Taylor-Lagrange

4.1.2 Formule de Taylor-Young

4.1.3 Formule de Taylor avec reste intégral

4.2 Cas des fonctions de plusieurs variables

4.2.1 Résultat préliminaire

4.2.2 Formules de Taylor pour une fonction de plusieurs variables

4.2.3 Application : extremums locaux d'un fonction de plusieurs variables

5. Equations différentielles

5.1 Equations différentielles linéaires

5.1.1. Equations différentielles scalaires linéaires d'ordre 1

5.1.2. Equations différentielles vectorielles linéaires d'ordre 1

5.1.3. Systèmes différentiels linéaires d'ordre 1 à coefficients constant; exponentielle d'une matrice

5.1.4 Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre n

5.1.5 Equations différentielles scalaires linéaires d'ordre n à coefficients constants

5.2 Equations différentielles non linéaires

5.2.1 Définitions

5.2.2 Théorème de Cauchy- Lipschitz

5.3 Quelques équations différentielles particulières

Exercice complémentaire